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単調写像

単調写像(たんちょうしゃぞう、: monotonic function, monotone function)または単調関数は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の単調増加関数および単調減少関数がある。

単調増加(たんちょうぞうか、: monotonically increasing)とは、狭義には実数の値を持つ関数 f が、x の増加につれて常に関数値 f(x) も増加することをいい、このような性質を持つ関数を単調増加関数(たんちょうぞうかかんすう、: monotonically increasing function)と呼ぶ。同様に、引数 x の増加につれて関数値 f(x) が常に減少することを単調減少(たんちょうげんしょう、: monotonically decreasing)といい、そのような性質を持つ関数を単調減少関数(たんちょうげんしょうかんすう、: monotonically decreasing function)と呼ぶ。従って、連続な単調増加関数 f(x) を縦軸、その引数 x を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に単調減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。 ある関数が単調増加または単調減少する性質をまとめて単調性(たんちょうせい、: monotonicity)と呼ぶ。

単調性

実数から実数への関数 [math]f[/math]

[math]x \le y[/math] (より簡明に [math]x \lt y[/math]) ならば [math]f(x) \le f(y)[/math]

をみたすとき、[math]f[/math] は広義単調増加するという。また、

[math]x \lt y[/math] ならば [math]f(x) \lt f(y)[/math]

をみたすとき、[math]f[/math] は狭義単調増加 (: strictly increasing) するという。[math]f(x)[/math][math]f(y)[/math] の間の不等号の向きを逆にすることで単調減少の定義が得られる。文脈によって明らかなときは「広義」/「狭義」を省略することも多い。広義単調増加のことを「単調非減少 (: monotonically nonincreasing)」と呼ぶこともある。

上記の単調性の定義は定義域値域が実数全体の集合でなくても(半)順序集合一般で意味を持つ。この場合、単調増加する写像は順序を保つ写像 (: order-preserving, isotone) であると言い替える事ができ、単調減少する写像は順序を逆にする写像 (: order-reversing, antitone) であると言い替える事ができる。

単調性を満たす写像を単調写像と呼ぶ。

単調性は有界性と併せて使われることが多い。つまり、つねに上限を持つ順序集合への単調写像 [math]f[/math] が上に有界であるとき、列 [math]x_1 \lt x_2 \lt \cdots[/math] に対して [math]\{f(x_i)\}_{i=1,2,\cdots}[/math] は上限を持つ。このことから上に有界な単調増加実数列は常に収束し、自然数上の再帰関数は必ず不動点を持つ(領域理論)。

実関数での単調性

部分集合 [math]I \subseteq \mathbb{R}[/math] で定義された関数 [math]f(x)[/math] を考える。

[math]\forall x_1, \forall x_2 \in I[/math] に対し~が成り立つとき [math]f(x)[/math] は区間 I で~である
語法1 語法2 語法3
[math]x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)\,[/math] 単調増加 狭義単調増加 単調増加
[math]x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)\,[/math] 広義単調増加 単調増加 単調非減少
[math]x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2) \,[/math] 単調減少 狭義単調減少 単調減少
[math]x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\,[/math] 広義単調減少 単調減少 単調非増加

等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。

特に、定義域全体で単調増加/単調減少である関数を、単調増加関数/単調減少関数という。単調増加関数と単調減少関数をまとめて単調関数という。

関数[math]f(x)[/math]が常に可微分な場合、単調性の概念は[math]f(x)[/math]導関数[math]f'(x)[/math]によって特徴づける事ができる。 [math]f(x)[/math]が広義単調増加になるのは[math]f'(x)[/math]が常に非負な事と同値であり、[math]f(x)[/math]が広義単調減少になるのは[math]f'(x)[/math]が常に非正な事と同値である。 更に[math]f'(x)[/math]の零点が存在しない場合、狭義の単調性が言える。

実数列での単調性

実数に値を取る数列は、自然数の集合(全順序集合である)から実数の集合への写像であると解釈できる。 その写像が単調なとき、その数列は単調数列と呼ばれる。

実数列 [math]\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n[/math] を考える。([math]n[/math][math]\infty[/math]でも構わない)

[math]\forall i, \forall j \in \left\{ 1,2, \cdots ,n \right\}[/math] に対し~が成り立つとき [math]\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n[/math] は~である
語法1 語法2 語法3
[math]i \lt j \Rightarrow a_i \lt a_j\,[/math] 単調増加 狭義単調増加 単調増加
[math]i \lt j \Rightarrow a_i \le a_j\,[/math] 広義単調増加 単調増加 単調非減少
[math]i \lt j \Rightarrow a_i \gt a_j\,[/math] 単調減少 狭義単調減少 単調減少
[math]i \lt j \Rightarrow a_i \ge a_j\,[/math] 広義単調減少 単調減少 単調非増加

関数の場合と同様、等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。

特に、定義域全体で単調増加/単調減少である数列を、単調増加数列/単調減少数列という。単調増加数列と単調減少数列をまとめて単調数列という。