半値幅

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半値全幅 (FWHM)

半値幅（はんちはば、half width）は、山形の関数の広がりの程度を表す指標。半値全幅 (はんちぜんはば、full width at half maximum, FWHM) と、その半分の値の半値半幅 (half width at half maximum, HWHM) とがある。単に半値幅と言うと半値全幅のことが多い。

定義

関数 f(x) が、ある箇所の前後で山形の局所的応答を示しているとする。尚、f(x) が不連続な場合などは考えない。もし不連続なときは、近似的な連続関数を考える。

f(x) を、ベースライン関数 b(x) と局所的応答関数 g(x) の和

f(x) = b(x) + g(x)

で表す。山形の広がりの成分は g(x) に含まれ、十分大きい x と十分小さい x （あるいは、±∞ への極限）に対し g(x) = 0 となる。

なお、十分大きい x と十分小さい x に対し f(x) = 0 なら、b(x) = 0 とみなし、

f(x) = g(x)

とすることができる。実用上は、f(x) が上の条件を満たさなくてもこうすることがある。

g(x) の最大値を g_max = g(x_max) とすると、g(x) = g_max/2 を満たす x が2つ以上存在する（g(x) が単峰性なら x_max の左右に1つずつ存在する）。g(x) = g_max/2 を満たす最小の x を x₁、最大の x を x₂ とすると、x₂ - x₁ が半値全幅、(x₂ - x₁)/ 2 が半値半幅である。

半値幅の例

標準偏差 σ の正規分布の半値幅は、

[math]{\rm FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 2.354820 \; \sigma[/math]
[math]{\rm HWHM} = \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 1.177410 \; \sigma[/math]

である。

双曲線正割関数 sech x の半値幅は、

[math]{\rm FWHM} = 2 \; \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 2.633916 [/math]
[math]{\rm HWHM} = \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 1.316958 [/math]

である。

幅 a の矩形関数の半値幅は、

FWHM = a

HWHM = a/2

である。なおこのばあい、「半」値でなくても常にこの幅になるので、単に「全幅」「半幅」とも言う。