十七角形

ファイル:Heptadecagon.svg

正十七角形

十七角形（じゅうしちかくけい、じゅうななかっけい、heptadecagon）は、多角形の一つで、17本の辺と17個の頂点を持つ図形である。内角の和は2700°、対角線の本数は119本である。

性質

正十七角形においては、中心角と外角は約21.18°で、内角は約158.82°となる。また、一辺の長さが a である正17角形の面積は [math]{17a^2\over4}\cot{\pi\over{17}}\approx22.7354919a^2[/math] である。

作図

正十七角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形の一つである。p が素数である正p角形のうち、このような作図が可能なものは p がフェルマー素数である場合に限られる。具体的には p = 3, 5, 17, 257, 65537のときで正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形の5つしか知られていない。

作図可能性

正十七角形がコンパスと定規で作図できることは1796年3月30日の朝に19歳のカール・フリードリヒ・ガウスが目覚めてベッドから起き上がる時に発見した。これは任意の三角関数において、その変数としての角が 2π/17 radのとき、関数の値が有理数と平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。例えば cos の値は以下のように表される。

[math]\begin{align} \cos\frac{2\pi}{17} &=\frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)\\ &=\frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{170+38\sqrt{17}}}\right) \end{align}[/math]

作図方法

正17角形の具体的な作図方法はヨハネス・エルチンゲルによって1800年頃に見つけられた。実際の作図方法をアニメーションで示すとこのようになる。全部で64段階。

正十七角形の作図

以下に、作図の手順の意味を説明する (括弧内はアニメーションにおける段階の番号)。O を中心とする円周上に A, B があり、OA と OB は直交するものとする (1-5)。線分 OB 上に点 C を 4OC = OB となるように取る (6-10)。線分 OA 上に点 D を 4∠OCD = ∠OCA となるように取る (11-18)。AO の延長上に点 E を ∠DCE = 45°となるように取る (19-24)。AE を直径とする円と OB との交点を F とする (25-28)。DF を半径とする円と線分 OA との交点を G とする (29)。G を通り、OA に直交する直線と円 O との交点を H とする (30-33)。点 H は 点 A から数えて正十七角形の3番目の頂点であるから、コンパスの幅を AH に取ることによって、全ての頂点を得ることができる (34-47)。最後に頂点を全て結べば正十七角形を得る (48-64)。

やや詳細なイラスト付き作図 Heptadecagon Construction Animation

17角形の作図から等倍の正多角形が作図できる。正34角形:

34-gon Construction Animation

正51角形:

51-gon Construction Animation

正85角形:

85-gon Construction Animation

正255角形:

255-gon Construction Animation

参考文献

• ガウス 「第7章　円の分割を定める方程式」『ガウス整数論』 高瀬正仁訳、朝倉書店、1995年6月（原著1801年）。ISBN 4-254-11457-5。 - 歴史的文献。特に第365条を参照。
• 倉田令二朗 『ガウス円分方程式論』 河合文化研究所、1988年11月。ISBN 4-87999-955-5。
• 高木貞治 「§17．1のp乗根，特に17乗根」『初等整数論講義』 共立出版、1971年10月、第2版。ISBN 4-320-01001-9。
• 高木貞治 「1．正十七角形のセンセーション」『近世数学史談』 岩波書店〈岩波文庫〉、1995年8月。ISBN 4-00-339391-0。
• 高木貞治 「1．正十七角形のセンセーション」『近世数学史談・数学雑談』 共立出版、1996年12月、復刻版。ISBN 4-320-01551-7。
• G・H・ハーディ・E・M・ライト 「§5.8　正17角形の作図」『数論入門』 示野信一・矢神毅訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年7月（原著1979年）。ISBN 4-431-70848-0。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Heptadecagon”. MathWorld（英語）.