冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系（English版）の一つである。

ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：

[math]\forall A \, \exists P \, \forall B \, [B \in P \iff \forall C \, (C \in B \Rightarrow C \in A)][/math]

ここで P は A の冪集合 [math]\mathcal{P}(A)[/math] を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：

任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が [math]\mathcal{P}(A)[/math] に属するようなある集合 [math]\mathcal{P}(A)[/math] が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（English版）においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

帰結

冪集合公理は、二つの集合 [math]X[/math] と [math]Y[/math] に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

[math] X \times Y = \{ (x, y);\ x \in X \land y \in Y \}. [/math]

ここで

[math]x, y \in X \cup Y, [/math]

[math]\{ x \}, \{ x, y \} \in \mathcal{P}(X \cup Y), [/math]

[math](x, y) := \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) [/math]

であり、

[math] X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) [/math]

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

[math] X_1 \times \cdots \times X_n := (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n. [/math]

デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（English版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.