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余代数

余代数(よだいすう、英語: coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義

[math]K[/math][math]C[/math][math]K[/math] 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 [math]\Delta:C\to C\otimes C[/math][math]\varepsilon:C\to K[/math] が存在して、これらが

  1. [math](\mathrm{id}\otimes \Delta)\circ\Delta=(\Delta\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad[/math](余結合律)、
  2. [math](\mathrm{id}\otimes\varepsilon)\circ\Delta=\mathrm{id}=(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad[/math](余単位律)

を満たすとき、即ち図式

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が可換であるとき、組 [math](C,\Delta,\varepsilon)[/math] を余代数という。また、[math]\Delta[/math] を余積、[math]\varepsilon[/math] を余単位という。

諸概念

余代数射

[math](C,\Delta,\varepsilon)[/math][math](D,\Delta',\varepsilon')[/math][math]K[/math]-余代数とする。[math]K[/math]-線型写像 [math]f:C\to D[/math]

[math]\Delta'\circ f=(f\otimes f)\circ\Delta,[/math]
[math]\varepsilon'\circ f =\varepsilon[/math]

を満たすとき [math]f[/math]余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:

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部分余代数

[math](C,\Delta,\varepsilon)[/math] を余代数、[math]D\subset C[/math] とする。[math]D[/math]部分余代数であるとは、[math]\Delta(D)\subseteq D\otimes D[/math] を満たすことをいう。このとき、 [math](D,\Delta|_{D},\varepsilon|_{D})[/math] は余代数の構造を持つ。

余イデアル

[math]I[/math] を余代数 [math](C,\Delta,\varepsilon)[/math]部分ベクトル空間とする。[math]I[/math]余イデアル(coideal)であるとは

[math]\Delta(I)\subseteq I\otimes C +C\otimes I,[/math]
[math]\varepsilon(I)=0[/math]

を満たすことをいう。このとき商 [math]C/I[/math] は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数

写像 [math]\mathrm{tw}[/math][math]\mathrm{tw}:C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c[/math] で定める。余代数 [math](C,\Delta,\varepsilon)[/math]余可換であるとは、 [math]\mathrm{tw}\circ\Delta=\Delta[/math] が成り立つことをいう。ここで新しい余積を [math]\Delta_{\mathrm{tw}}=\mathrm{tw}\circ\Delta:C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto\sum_{i}c^{(2)}_{i}\otimes c^{(1)}_{i}[/math] によって定めると、[math](C,\Delta_{\mathrm{tw}},\varepsilon)[/math] は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと [math]\Delta=\Delta_{\mathrm{tw}}[/math] となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法

[math](C,\Delta,\varepsilon)[/math] を余代数とする。[math]c\in C[/math] とすると、余積は

[math] \Delta(c)=\sum_{i}c^{i}\otimes \tilde{c}^{i}\quad (c^{i},\tilde{c}^{i}\in C) [/math]

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

[math] \Delta(c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)} [/math]

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

[math]\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad[/math](余結合律)
[math]\sum\varepsilon\left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon\left(c_{(2)}\right)=c\quad[/math](余単位律)

  • [math]S[/math] を空でない任意の集合、[math]kS[/math][math]S[/math] の元を基底とした [math]k[/math]-ベクトル空間とする。任意の [math]s\in S[/math] に対して余積と余単位を
[math] \Delta(s)=s\otimes s,\quad\varepsilon(s)=1 [/math]
で定めると、[math](kS,\Delta,\varepsilon)[/math][math]k[/math]-余代数の構造を持つ。
  • [math]H[/math][math]K[/math]-ベクトル空間、[math]\{c_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}[/math] をその基底とする。任意の [math]n\in\mathbb{N}[/math] に対して余積と余単位を
[math] \Delta(c_{i})=\sum_{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad\varepsilon(c_{i})=\delta_{0,n} [/math]
で定めると、[math](H,\Delta,\varepsilon)[/math][math]k[/math]-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
  • [math]M_{n}(K)[/math][math]n^{2}[/math] 次元 [math]K[/math]-ベクトル空間、[math]\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}[/math] をその基底とする。余積と余単位を
[math] \Delta(e_{ij})=\sum_{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad\varepsilon(e_{ij})=\delta_{i,j} [/math]
によって定めると [math](M_{n}(K),\Delta,\varepsilon)[/math] は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
  • [math](P,\leq)[/math] を局所有限半順序集合とする。[math]T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}[/math] として [math]V[/math][math]T[/math] の元全体を基底として持つ [math]K[/math]-ベクトル空間とする。任意の [math](x,y)\in T[/math] に対して余積と余単位を
[math] \Delta(x,y)=\sum_{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes(z,y),\quad\varepsilon(x,y)=\delta_{x,y} [/math]
で定めると [math](P,\Delta,\varepsilon)[/math] は余代数となる。
  • [math]C[/math][math]K[/math]-ベクトル空間とし、その基底を [math]\{s,c\}[/math] とする。余積と余単位を
[math] \begin{alignat}{3} \Delta(s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad& \Delta(c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\ \varepsilon(s)&=0,\quad&\varepsilon(c)&=1 \end{alignat} [/math]
で定めると [math](C,\Delta,\varepsilon)[/math] は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間

[math]C[/math][math]K[/math]-余代数、[math]A[/math][math]K[/math]-代数、とする。ここで[math]f,g\in\mathrm{Hom}_{K}(C,A)[/math] の積を[math]f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta[/math]、即ち任意の [math]c\in C[/math]に対して

[math] (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right) g\left(c_{(2)}\right) [/math]

で定める。[math]\Delta[/math] が余結合的であることから積 [math]\ast[/math] は結合的であることがわかる。この積によって [math]\mathrm{Hom}_{K}(A,C)=:C^{\ast}[/math][math]K[/math]-代数となり、[math]C[/math]双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

[math] \varepsilon\circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto\varepsilon(c)1_{A} [/math]

で与えられる。また[math]C[/math] が余可換であることと、全ての可換な [math]A[/math] に対して [math]\mathrm{Hom}_{K}(A,C)[/math] が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。[math]A[/math] を有限 [math]K[/math]-次元代数とすると、準同型写像

[math] A^{\ast}\otimes A^{\ast}\to (A\otimes A)^{\ast},\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)] [/math]

が存在して [math]A^{\ast}\otimes A^{\ast}\simeq (A\otimes A)^{\ast}[/math] となる。積と単位の双対

[math] \begin{align} m^{\ast}&:a\to (A\otimes A)^{\ast}\simeq A^{\ast}\otimes A^{\ast},\\ u^{\ast}&:A\to K,\quad f\mapsto f(1) \end{align} [/math]

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に [math]A[/math] が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献

  • Tomasz Brzezinski (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press. 
  • Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras, Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin. 
  • Sorin Dăscălescu (2001). Hopf Algebra: An Introduction, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel-Dekker. 

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