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五胞体数

ファイル:Pentatope of 70 spheres animation.gif
n=5のときの五胞体数である70個の。最初の5つの三角錐数に等しい個数の球を順番に「3次元的な段」として重ねたものである

五胞体数(ごほうたいすう、: pentatope number)は、点を右図のように五胞体の形に並べたとき、そこに含まれる点の総数にあたる自然数である。三角錐数を 1 から小さい順に加えた数と定義してもよい。例:15(=1 + 4 + 10)、70(=1 + 4 + 10 + 20 + 35)

n 番目の五胞体数 Pn は 1 から n 番目までの三角錐数 n(n + 1)(n + 2)/6 までの和に等しいので

[math] \begin{align} P_n &= \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} \end{align}[/math]

また組み合わせの記号を用いると [math]P_n = {}_{n+3}{\rm C}_{4}[/math] となる。

五胞体数を小さい順に列記すると

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, …(オンライン整数列大辞典の数列 A332

3つの連続する五胞体数のうち2つは五角数である。なぜなら 3n − 2 番目の五胞体数は (3n2n)/2 番目の五角数であり、3n − 1 番目の五胞体数は (3n2 + n)/2 番目の五角数だからである。

パスカルの三角形では左から5列目の数が五胞体数にあたる。

五胞体数の逆数総和

[math]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}} = \frac{4}{3}[/math]

となる。

関連項目

外部リンク