レイリー分布

レイリー分布
	確率密度関数; Plot of the Rayleigh PDF;
	累積分布関数; Plot of the Rayleigh CDF;
母数	[math]\sigma\gt 0\,[/math]
台	[math]x\in [0;\infty)[/math]
テンプレート:確率分布/リンク密度	[math]\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}[/math]
累積分布関数	[math]1 - e^{-x^2/2\sigma^2}[/math]
期待値	[math]\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}[/math]
中央値	[math]\sigma\sqrt{\ln(4)}\,[/math]
最頻値	[math]\sigma\,[/math]
分散	[math]\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2[/math]
歪度	[math]\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}[/math]
尖度	[math]-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}[/math]
エントロピー	[math]1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}[/math]
モーメント母関数	[math]\begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}[/math]
特性関数	[math]\begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}[/math]
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レイリー分布（レイリーぶんぷ、英: Rayleigh distribution）は、連続型の確率分布である。イギリスの物理学者レイリー卿によって名付けられた。

定義と性質

確率変数を実数 [math]x (0\le x)[/math] とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

[math]\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)[/math]

期待値は [math]\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/math]、分散は [math]\left(2-\frac{\pi}{2}\right)\sigma^2[/math] である。

確率変数の観測値が [math]X_i[/math] として得られたとき、パラメータ [math]\sigma[/math] の最尤推定値は

[math]\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^nX_i^2}[/math]

である。

確率密度関数 Plot of the Rayleigh PDF
累積分布関数 Plot of the Rayleigh CDF
母数	[math]\sigma\gt 0\,[/math]
台	[math]x\in [0;\infty)[/math]
テンプレート:確率分布/リンク密度	[math]\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}[/math]
累積分布関数	[math]1 - e^{-x^2/2\sigma^2}[/math]
期待値	[math]\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}[/math]
中央値	[math]\sigma\sqrt{\ln(4)}\,[/math]
最頻値	[math]\sigma\,[/math]
分散	[math]\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2[/math]
歪度	[math]\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}[/math]
尖度	[math]-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}[/math]
エントロピー	[math]1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}[/math]
モーメント母関数	[math]\begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}[/math]
特性関数	[math]\begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}[/math]
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