リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現（リーだいすうのずいはんひょうげん、英: adjoint representation of a Lie algebra）とは、リー代数 [math]\mathfrak{g}[/math] の交換子を用いて定義されるリー代数から [math]\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})[/math] への準同型写像のことをいう。

定義

[math]\mathfrak{g}[/math] をリー代数とする。[math]x \in \mathfrak{g}[/math] に対し [math]ad_{x} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}[/math] を

[math]ad_{x}(y)=[x, y][/math]

によって定める。このとき [math]ad_{x}[/math] は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型

[math]ad : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}),\quad x \mapsto ad_{x}[/math]

をリー代数 [math]\mathfrak{g}[/math] の随伴表現という。

性質

[math]x, y, z \in \mathfrak{g}[/math] に対して、

[math]ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x}, ad_{y}](z)[/math]。

リー群の随伴表現との関係

リー群 [math]G[/math] の単位元における接空間 [math]T_{e}G=\mathfrak{g}[/math] を [math]G[/math] に付随するリー代数という。 [math]G[/math] の随伴表現を [math]Ad[/math] とすると、

[math]d(Ad)_{e}=ad : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})[/math]

が成り立つ。