ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理(Jacobi's four square theorem)は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は

[math]r_4(N)=8\sum_{4{\nmid}d{\mid}N}d[/math]

で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。[math]N\ge1[/math]ならば[math]r_4(N)\ge8[/math]であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。

具体例

例えば、

[math]r_4(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96[/math]

であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は

[math]\begin{align}12 &=(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2\\ &=(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2\\ &=(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\ &=0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\ &=(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\ &=(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\ &=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2\\ &=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2\\ \end{align}[/math]

であり、符号と順序を区別すれば96個になる。

関連記事

• ラグランジュの四平方定理