ポリガンマ関数

ファイル:Polygamma function.png

実数x に対するψ⁽ⁿ⁾(x)の挙動。 オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。

ファイル:Complex Polygamma 0.jpg

複素平面上でのディガンマ関数ψ(z)

ファイル:Complex Polygamma 1.jpg

複素平面上でのトリガンマ関数ψ⁽¹⁾(z)

ファイル:Complex Polygamma 2.jpg

複素平面上でのテトラガンマ関数ψ⁽²⁾(z)

ファイル:Complex Polygamma 3.jpg

複素平面上でのペンタガンマ関数ψ⁽³⁾(z)

数学において、ポリガンマ関数（ぽりがんまかんすう、英: polygamma function）とはガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やトリガンマ関数はポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

[math] \psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)} = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z) [/math]

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z), ψ⁽¹⁾(z), ψ⁽²⁾(z), ψ⁽³⁾(z), ψ⁽⁴⁾(z) は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(z ) は z = 0, −1, −2, ... で n + 1 位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

漸化式

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。

[math] \psi^{(n)}(z+1) = \psi^{(n)}(z) + \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} [/math]

級数表示

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

• [math] \psi(z) = -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr ) [/math]

• [math] \psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{n+1}} \qquad (n = 1,2,3, \cdots) [/math]

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

• [math] \psi(z+1) = -\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \zeta(k) z^{k-1} [/math]

• [math] \psi^{(n)}(z+1) = (-1)^{n+1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} (n+k-1)! \zeta(n+k) z^{k-1} }{(k-1)!} \qquad (n = 1,2,3, \cdots) [/math]

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• [math] \psi(z) = -\gamma+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}} dt [/math]

• [math] \psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^ne^{-zt}}{1-e^{-t}} dt \quad (n=1,2,\cdots) [/math]

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

[math] \psi^{(n)}(1-z) + (-1)^{n+1} \psi^{(n)}(z) = \pi \frac{d^n}{dz^n} \operatorname{cot} \pi z [/math]

但し、cot πz は余接関数を表す。

漸近展開

z →∞　(|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

• [math] \psi(z) \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} [/math]

• [math] \psi^{(n)}(z) \sim (-1)^{(n-1)} \left( \frac{(n-1)!}{z^n} + \frac{n!}{2z^{n+1}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}} \right ) \quad (n=1,2,\cdots) [/math]

但し、B_2kはベルヌーイ数である。

特殊値

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

• [math] \psi(1) = -\gamma [/math]
• [math] \psi^{(n)}(1) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1) \quad (n=1,2,\cdots) [/math]

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

• [math] \psi(m) = -\gamma + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k} = -\gamma + H_{m-1} \qquad (m = 2,3,4, \cdots) [/math]

• [math] \psi^{(n)}(m) = (-1)^n n! \left \{ -\zeta(n+1) + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k^{n+1}} \right \} \qquad (n = 1,2,3, \cdots,m = 2,3,4, \cdots) [/math]

但し、γ はオイラーの定数、H_m-1は調和数を表す。

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

関連項目

• ガンマ関数
• ディガンマ関数