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ポアソン和公式

数学においてポアソン和公式(ポアソンわこうしき、英語:Poisson summation formula)とはある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。

証明

以下の式変形によって示される。

[math]\begin{align} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-i2\pi kx} dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{k=-\infty}^\infty e^{-i2\pi kx} \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}[/math]

応用

テータ関数リーマンゼータ関数に関連した証明に応用される。

関連項目