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プランク単位系

プランク単位系(プランクたんいけい)は、マックス・プランクによって提唱された自然単位系である。

プランク単位系では以下の物理定数の値を 1 として定義している。

定数 記号 次元
真空中の光速度 [math]{ c } \ [/math] L T−1
万有引力定数 [math]{ G } \ [/math] M−1L3T−2
ディラック定数(換算プランク定数ともいう) [math]\hbar=\frac{h}{2 \pi}[/math][math]{h} \ [/math]プランク定数 ML2T−1
クーロン力定数 [math] \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [/math][math]{ \varepsilon_0 } \ [/math]真空の誘電率 Q−2 M L3 T−2
ボルツマン定数 [math]{ k } \ [/math] ML2T−2Θ−1

プランク単位系は物理学者によって「の単位」と半ばユーモラスに言及される。自然単位系は「人間中心的な自由裁量が除かれた単位系」であり、ごく一部の物理学者は「地球外の知的生命体も同じ単位系を使用しているに違いない」と信じている。

プランク単位系は、物理学者が問題を再構成するのに役立つ。

物理学の方程式の単純化

プランク単位系を使用すると上記の変換定数が不要になるため、下記のように多くの物理学の方程式が単純化されるという利点がある。 そのため、理論物理学でよく使われる。

方程式の名称 一般の単位系 プランク単位系
ニュートンの万有引力の法則 [math] F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} [/math] [math] F = \frac{m_1 m_2}{r^2} [/math]
シュレーディンガー方程式 [math] - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t) [/math] [math] - \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t) [/math]
角周波数[math]{ \omega } \ [/math]
素粒子光子が持つエネルギー
[math]{ E = \hbar \omega } \ [/math] [math]{ E = \omega } \ [/math]
アインシュタイン
質量とエネルギーの方程式
[math]{ E = m c^2} \ [/math] [math]{ E = m } \ [/math]
アインシュタイン方程式 [math]{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ [/math] [math]{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ [/math]
運動エネルギー [math]{ E = \frac{1}{2} k T } \ [/math] [math]{ E = \frac{1}{2} T } \ [/math]
クーロンの法則 [math] F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} [/math] [math] F = \frac{q_1 q_2}{r^2} [/math]
マクスウェルの方程式 [math]\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho[/math]

[math]\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ [/math]
[math]\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}[/math]
[math]\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}[/math]

[math]\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ [/math]

[math]\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ [/math]
[math]\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}[/math]
[math]\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}[/math]

  • クーロン力定数に[math] 1/(4 \pi \varepsilon_0) \ [/math]ではなく正規化された[math] \varepsilon_0 \ [/math]を使うと、
    [math] 4 \pi \ [/math]も取り除くことができる。

基本プランク単位

上述の5つの定数の値を 1 とすることで、時間・長さ・質量・電荷・温度の5つの基本単位が定義される。

名称 次元 SIでの値[1] 備考
プランク時間 時間 (T) [math]t_P=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}[/math] main}} 何らかの物理的意味を持ちうる、最小の時間の単位。
現在の物理学の理論で、これより短い時間で物理的意味を持つものは知られていない。
プランク長 長さ (L) [math]\ell_P=c\ t_P=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}[/math] main}} 何らかの物理的意味を持ちうる、最小の長さの単位。
現在の物理学の理論で、これより短い長さで物理的意味を持つものは知られていない。
プランク質量 質量 (M) [math]m_P=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}[/math] main}}
プランク電荷 電荷 (Q) [math]q_P=\sqrt{\hbar c4\pi\varepsilon_0}[/math] main}}
プランク温度 温度 (Θ) [math]T_P=\frac{m_Pc^2}{k}=\sqrt{\frac{\hbar c^5}{Gk^2}}[/math] main}} 何らかの物理的意味を持ちうる、最大の温度。
ビッグバンの瞬間から1プランク時間が経過したときの宇宙の温度で、現在の物理学の理論でこれ以上の物理的意味を持つ高温は知られていない。

従って、5つの物理定数はこれらの基本プランク単位により以下のように書き表すことができる。

[math]c=\frac{l_P}{t_P}[/math]

[math]\hbar=\frac{m_P{\ell_P}^2}{t_P}[/math]

[math]G=\frac{{\ell_P}^3}{m_P{t_P}^2}[/math]

[math]\varepsilon_0=\frac{{q_P}^2{t_P}^2}{4\pi m_P{\ell_P}^3}[/math]

[math]k=\frac{m_P{\ell_P}^2}{{t_P}^2T_P}[/math]

また、これらの数値がどの様なスケールなのかに関しては時間の比較長さの比較及び質量の比較温度の比較を参照。

派生プランク単位

他の単位系と同様に、以下の物理量の単位は基本プランク単位に基づいて定義される。

名称 次元 SIでのおよその値
プランクエネルギー エネルギー (ML2T−2) [math]E_P=m_Pc^2=\sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}[/math] main}}
プランク力 (MLT−2) [math]F_P=\frac{E_P}{\ell_P}=\frac{c^4}{G}[/math] main}}
プランク仕事率 (?) 仕事率 (ML2T−3) [math]P_P=\frac{E_P}{t_P}=\frac{c^5}{G}[/math] main}}
プランク密度 密度 (ML−3) [math]\rho_P=\frac{m_P}{{\ell_P}^3}=\frac{c^5}{\hbar G^2}[/math] main}}
プランク角周波数 周波数 (T−1) [math]\omega_P=\frac{1}{t_P}=\sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}[/math] main}}
プランク圧力 圧力 (ML−1T−2) [math]p_P=\frac{F_P}{{\ell_P}^2}=\frac{c^7}{\hbar G^2}[/math] main}}
プランク電流 電流 (QT−1) [math]I_P=\frac{q_P}{t_P}=\sqrt{\frac{c^64\pi\varepsilon_0}{G}}[/math] main}}
プランク電圧 電圧 (ML2T−2Q−1) [math]V_P=\frac{E_P}{q_P}=\sqrt{\frac{c^4}{G4\pi\varepsilon_0}}[/math] main}}
プランクインピーダンス 電気抵抗 (ML2T−1Q−2) [math]Z_P=\frac{V_P}{I_P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0c}=\frac{Z_0}{4\pi}[/math] main}}

各数値のスケールについては以下の各項目を参照。

脚注

関連項目