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ブール関数

ブール関数(ブールかんすう、: Boolean function)は、非負整数 k 個のブール領域 B [math] = \{0, 1\}[/math] の引数をとり、1個のブール領域の値となる関数 f : BkB である。k = 0 では、単に定数 B となる。

ブール関数を一般化すると、f : XB という形式の関数において、X が任意の集合である場合を「ブール値関数」と呼ぶ。X = M = {1, 2, 3, …} であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限である。X = [k] = {1, 2, 3, …, k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は [math]2^{2^k}[/math] 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす。

効率的表現

命題論理の)論理式で表現できるが、効率的な表現としては次のようなものがある。

簡単化

簡単な表現に変換する手法として次のようなものがある。

  • カット・アンド・トライ法
ブール代数の定義を用い、効率的な表現に変形していく。
  • ベン図
ベン図を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。

以上は人間の直感によるものであり「変換する手法」と言えたものではない。

  • カルノー図法
カルノー図を用い、効率的な表現に変形していく。
  • クワイン・マクラスキー法
クワイン・マクラスキー法を用い、効率的な表現に変形していく。計算機で簡単化するのに適している。

標準形

選言標準形連言標準形が代表的である。他に、リード-マラー標準形などがある。

リード-マラー標準形

リード-マラー標準形(en:Algebraic normal form)は、積(AND)の排他的論理和(XOR)による標準形である。

[math]f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = \![/math] [math]a_0 + \![/math]
[math]a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n + \![/math]
[math]a_{1,2}x_1x_2 + a_{n-1,n}x_{n-1}x_n + \![/math]
[math]\ldots + \![/math]
[math]a_{1,2,\ldots,n}x_1x_2\ldots x_n \![/math]

ここで [math] a_0, a_1, \ldots, a_{1,2,\ldots,n} \in \{0,1\}^* [/math] である。

従って、列 [math]a_0,a_1,\ldots,a_{1,2,\ldots,n}[/math] の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの(AND)項に現われる [math]x_i[/math] の個数で表される。つまり、[math]f(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_3[/math] の次数は 1(線形)であり、[math]f(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_1x_2x_3[/math] の次数は 3(立方)である。

関連項目