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ブロカール点

ファイル:Brocard point.svg
三角形のブロカール点

ブロカール点(Brocard point)は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point)
△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。
第二ブロカール点(2nd Brocard point)
△ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。

ブロカール角

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

  • [math]\cot \omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma[/math]
  • [math]\tan \omega = \frac {4S}{a^2+b^2+c^2}[/math]
  • [math]\sin \omega = \frac{2S}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}[/math]
  • [math]\omega \leq 30^o[/math]

その他の性質

関連する点

2つのブロカール点の中点をブロカール中点という。この点は外心類似重心を結ぶ直線上にある。

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、キーペルト双曲線上にある。

四角形におけるブロカール点

F.G.W.Brown は1917年の Math Gazette において、四角形のブロカール点について記述している[1]

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注

関連項目

外部リンク