ディリクレのディオファントス近似定理

ディリクレのディオファントス近似定理(-きんじていり)はディリクレが証明した実数の有理数による近似についての定理で、単にディリクレの定理と呼ばれることもある。

ディリクレのディオファントス近似定理は次のような定理である。

任意の実数 [math]\alpha[/math] と [math]1[/math] より大きい任意の自然数 [math]N[/math] に対し、分母が [math]N[/math] 以下の自然数 [math]q[/math] であるような [math]\alpha[/math] の近似分数 [math]\frac{p}{q}[/math] で、[math]\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{qN}[/math] を満たすものが存在する。

この定理の証明は鳩の巣原理による。

場合によっては、この定理から直ちに導かれる次の結果を指すこともある。

任意の無理数 [math]\beta[/math] に対し、[math]0 \lt \left|\beta - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q^2}[/math] を満たす無限に多くの有理数 [math]\frac{p}{q}[/math] が存在する。

この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。

関連項目

• ディオファントス近似

参考文献

• 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版 1999年 ISBN 4-627-06091-2