ディラック方程式

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テンプレート:場の量子論 ディラック方程式（ディラックほうていしき、英: Dirac equation）はフェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。 しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。1930年にディラックは、「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念（空孔理論、hole theory）を考案した。ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。

1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、真空での負エネルギーの電子の海（ディラックの海→空孔理論）を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

"「量子電磁力学」"

ディラック方程式

ディラック方程式は [math]\hbar=1,c=1[/math] とする自然単位系では

[math]i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m\psi(x)=0[/math]

と表される。ψ は4成分スピノルの場（ディラック場）である。

[math] \psi(x) = \begin{pmatrix} \psi_1(x)\\ \psi_2(x)\\ \psi_3(x)\\ \psi_4(x)\\ \end{pmatrix} [/math]

m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分[math]\partial_\mu[/math] は

[math]\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu} =\left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)[/math]

である。 [math]\gamma^\mu[/math] はガンマ行列（ディラック行列）と呼ばれる 4×4行列で

[math]\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu =2\eta^{\mu\nu}[/math]

を満たす。[math]\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)[/math] はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

[math]i\gamma^0\frac{\partial\psi}{\partial t} +i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\psi -m\psi=0[/math]

となる。移項して左から [math]\gamma^0[/math] を掛ければ

[math]i\frac{\partial\psi}{\partial{}t} =H\psi =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi +\beta m\psi[/math]

と表すことができる。 ただし [math]\alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0[/math] である。ここで[math]H=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m[/math] はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

[math]-\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =-\nabla^2\psi(t,\boldsymbol{x}) +m^2\psi(t,\boldsymbol{x})[/math]

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

[math]i\frac{\partial\psi}{\partial t} =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi(t,\boldsymbol{x}) +\beta m\psi(t,\boldsymbol{x})[/math]

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

[math]( -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla +\beta m)^2 =-\nabla^2+ m^2[/math]

を満たすように４つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

[math]\{ \alpha_i, \alpha_j \}=0\quad i\neq j,[/math]

[math]\{ \alpha_i, \beta \}=0,~ (\alpha_i)^2 = \beta^2 =1[/math]

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

[math]x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu[/math]
[math]\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)[/math]

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

[math](i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0[/math]

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

[math][D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b [/math]

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

[math]D(\Lambda) = \begin{pmatrix} M & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\ \end{pmatrix} [/math]
[math]M \sigma^\mu M^\dagger = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu[/math]

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

[math]\Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\ \end{pmatrix} [/math]
[math]M = \begin{pmatrix} e^{-\beta/2} & 0 \\ 0 & e^{\beta/2} \\ \end{pmatrix} [/math]

となる。

参考文献

原論文

関連項目



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