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ダランベールの微分方程式

ダランベールの微分方程式(ダランベールのびぶんほうていしき、英:d'Alembert's equation)とは、

[math] y = x f \left(\frac {dy} {dx} \right) + g \left(\frac {dy} {dx} \right) [/math]  … (1)

の形をしている一階常微分方程式である。 ここで、fg はそれぞれ、微分可能関数で、かつ f(p) ≠ p だとする。 f が恒等写像の場合、(1) はクレローの微分方程式となる。

この方程式は、ラグランジュの微分方程式(英:Lagrange's equation)とも呼ばれる。

解法

[math] p = \frac{dy}{dx} [/math] とおくと、(1) は、

[math] y = x f(p) + g(p) \,[/math]  … (2)

となる。 (2) の両辺を x で微分すると、

[math] p = f(p) + x f'(p) \frac {dp} {dx} + g'(p) \frac {dp} {dx} [/math]

である。 p を独立変数、xp の関数とみなすと、f(p) ≠ p だから、

[math] \frac{dx}{dp} + \frac {f'(p)} {f(p) - p} x + \frac {g'(p)} {f(p) - p} = 0[/math]  … (3)

となる。 (3) は一階線型常微分方程式だから、定数変化法により一般解

[math] \begin{align} x = & \exp \left(- \int \frac {f'(p)} {f(p) - p} dp \right) \\ & \left\{ C - \int \frac {g'(p)} {f(p) - p} \exp \left( \int \frac {f'(p)} {f(p) - p} dp \right) dp \right\} \\ \end{align} [/math]  … (4)

と求まる。 ここに、C は、積分定数である。

(1) の一般解は、p を助変数として、(2) と (4) により得られる。

なお、α = f(α) を満たす実数 α が存在する場合、y = x f(α) + g(α) が (1) の特異解を与えることがある。