ゴレンシュタイン環

可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 R であって、R-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。

Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は Gorenstein (1952) によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは Macaulay (1934) によって研究されていた。Serre (1961) と Bass (1963) は Gorenstein 環の概念を公表した。

0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

定義

Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。

古典的な定義は：

局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大R-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。

クルル次元 n のネーター可換局所環 [math](R, m, k)[/math] に対して、以下は同値である。

• [math]R[/math] は [math]R[/math]-加群として移入次元が有限である。
• [math]R[/math] は [math]R[/math]-加群として移入次元が [math]n[/math] である。
• [math]i \neq n[/math] に対して [math]\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0[/math] であり [math]\operatorname{Ext}^n_R (k, R)[/math] は [math]k[/math] と同型。
• ある [math]i \gt n[/math] に対して [math]\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0[/math]
• すべての [math]i \lt n[/math] に対して [math]\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0[/math] であり [math]\operatorname{Ext}^n_R (k, R)[/math] は [math]k[/math] と同型。
• [math]R[/math] は [math]n[/math]-次元 Gorenstein 環。

（可換とは限らない）環 R は左 R-加群としても右 R-加群としても R の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。R が局所環であれば、R を局所 Gorenstein 環という。

例

• すべての局所完交環、とくにすべての正則局所環は Gorenstein である。

• 環 k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²–xy) は完交環でない0次元 Gorenstein 環である。

• 環 k[x,y]/(x², y², xy) は Gorenstein 環でない0次元 Cohen–Macaulay 環である。

性質

ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその完備化が Gorenstein であることは同値である。

次数付き Gorenstein 環 R の 正準加群 は R を何次かずらしたものに同型である。

参考文献

• Bass, Hyman (1963), “On the ubiquity of Gorenstein rings”, Mathematische Zeitschrift 82: 8–28, doi:10.1007/BF01112819, ISSN 0025-5874, MR 0153708 
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956, http://books.google.com/books?id=LF6CbQk9uScC 
• Gorenstein, D. (1952), “An arithmetic theory of adjoint plane curves”, Transactions of the American Mathematical Society 72: 414–436, doi:10.2307/1990710, ISSN 0002-9947, MR 0049591, http://www.jstor.org/stable/1990710 
• Grothendieck, Alexandre (1957), “Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents”, Séminaire Bourbaki, Vol. 4, Paris: Société Mathématique de France, pp. 169–193, MR 1610898, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__169_0 
• テンプレート:Eom
• Macaulay, F. S. (1934), “Modern algebra and polynomial ideals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (1): 27–46, doi:10.1017/S0305004100012354, ISSN 0305-0041 
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• Serre, Jean-Pierre (1961), Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, pp. 1–16, http://www.numdam.org/item?id=SD_1960-1961__14_1_A2_0 

関連項目

• 正準加群