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グラム行列

線形代数学において正方行列 [math]A[/math] が与えられたとき, [math]A^* A[/math][math]A[/math]グラム行列(ぐらむぎょうれつ, : Gram matrix)という.

[math]A=(\boldsymbol{a}_1 \dots \boldsymbol{a}_n)[/math] であるとき, [math]A[/math] のグラム行列の [math](i,j)[/math] 成分は [math]\boldsymbol{C}^n[/math] における標準内積を用いて [math]\langle\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j\rangle[/math] と表せる.このことから, 内積空間の [math]n[/math] 個のベクトル [math]\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_n[/math] が与えられたときに [math]\langle\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j\rangle[/math][math](i,j)[/math] 成分にもつ行列のこともグラム行列という.

性質

グラム行列は半正値エルミート行列であり, [math]A[/math] のグラム行列 [math]G[/math] について下記の 3 条件は同値である。

  • [math]A[/math] は正則行列
  • [math]G[/math] は正則行列
  • [math]G[/math] は正値エルミート行列

関連項目