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クルト・ゲーデル

クルト・ゲーデル
Kurt Gödel
生誕 (1906-04-28) 1906年4月28日
Flag of Austria-Hungary (1869-1918).svg オーストリア=ハンガリー帝国ブリュン
死没 1978年1月14日(1978-01-14)(71歳)
アメリカ合衆国の旗 アメリカ合衆国ニュージャージー州 プリンストン
研究分野 数学, 数理論理学
研究機関 プリンストン高等研究所
出身校 ウィーン大学
博士課程
指導教員
ハンス・ハーン
主な業績 ゲーデルの不完全性定理, ゲーデルの完全性定理, 連続体仮説, ゲーデルの神の存在証明English版
主な受賞歴 アルベルト・アインシュタイン賞English版 (1951年); アメリカ国家科学賞 数学部門(1974年)
署名

クルト・ゲーデル(Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日)は、オーストリア・ハンガリー帝国出身の数学者論理学者である。業績には、完全性定理不完全性定理[1]および連続体仮説に関する研究が知られる。

略歴

オーストリア時代

1924年、ゲーデルは、ウィーン大学に入学し、まず物理学を、後に数学を学んだ。そして、1930年には、最初の重要な業績である「第一階述語論理の完全性定理」を発表し、学位を得た。テオドール・スコーレムジャック・エルブランの二名がこれに限りなく等しい成果を出していたものの、ゲーデルが最終的に誤謬なく完成させた。

1931年ゲーデル数の概念を用い、20世紀数学基礎論論理学にとって最も重要な発見とされる「不完全性定理」を発表した[2]。これは、ヒルベルトが数学の無矛盾性を証明するために推進した「ヒルベルト・プログラム」に関連して研究されたものであるが、「数学は自己の無矛盾性を証明できない」ことを示した不完全性定理は、ヒルベルト学派の主張した有限の立場を忠実に用いて、手法としての超数学を具体化することで、皮肉にもそのプログラムが本質的に不可能であることを暗示するというものであった。不完全性定理は、ジョン・フォン・ノイマンなど当代一流の学者の激賞を受け、「人間の理性の限界を示した」とも評されている。

1940年、ヒルベルトの第一問題(連続体仮説)について、「集合論のZF公理系が無矛盾ならば、そこに選択公理と一般連続体仮説を加えても無矛盾である」ということを証明した[3]。以上がゲーデルの三大業績と呼ばれている。この後、ゲーデルは、連続体仮説に関する研究から身を引いた。1963年ポール・コーエンは、「ZF公理系に選択公理と一般連続体仮説の否定を加えても無矛盾である」ということを証明し、ゲーデルの結果と合わせて、「選択公理と一般連続体仮説はZFとは独立である(したがって、証明も否定の証明もできない)」ということを示した。このとき、ゲーデルは「これは自分がなすべき仕事だった」と悔やんだと言われ、コーエンの仕事を絶賛した。その一方で、ゲーデルは「すべての数学的命題に対して、人間は真偽を判定することが可能である」と信じていたと言われる。特に、連続体仮説に関しては、その否定を信じていた。

アメリカ合衆国時代

ゲーデルは、ウィーン大学の講師を勤めたが、1940年頃にはナチス・ドイツを逃れるために、妻アデルと共にアメリカ合衆国に移住した[4]。ゲーデルは、米国の市民権を取得し[5]プリンストン高等研究所の教授となった。この研究所では、アインシュタインと家族ぐるみで親密に交流し、物理学哲学などについて議論を交わした。その結果アインシュタイン一般相対性理論におけるゲーデル解1949年)を生んだ。この解は、非常に奇妙な性質を示したために、アインシュタインをして自身の理論に疑問を抱かせるに至った。

この渡米の際に「新居を購入[6]」する偽装工作を余儀なくされたために、人間不信に近い症状が出ていたようである。ゲーデルは英語を選択科目で選んだため語学の問題がなかったが、妻が英語をほとんど話せなかった[7]ために多くのトラブルが生まれたらしい。

1948年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家(ナチス・ドイツに併合されたオーストリア)から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった[8]

1970年代初頭には、ライプニッツによる「神の存在証明」を洗練しゲーデルの神の存在証明English版として知られる論文を知人に配布した。しかし、その目的が、神学論争への加担ではなく、あくまで論理学的な興味の追求にあったため、ゲーデルは、誤解を恐れて生前は公表しなかった。その中で、ゲーデルは、ライプニッツの主張について、公理系を解明しつつ様相論理の手法を用いて明確な定式化を試みた。この論文は、ゲーデルが没してから9年後の1987年に初めて一般に公開された。

晩年は、非常に内向的となった。また、精神にも失調をきたしており、毒殺されることを恐れるあまり、妻アデルが作った食事以外は、自分が調理した食事すら口にしなかった。その他にも、毒ガスによる暗殺を恐れたために、冬でも家の窓を開け放っていた。また、人前に出ることはほとんどなく、自宅に籠って哲学と論理学の研究を続けていた。最終的には、アデルが病院に入院して自宅を離れていた期間に、絶食による飢餓状態となった。すぐに病院に搬送されたが、プリンストン病院で死去した。このとき、ゲーデルの体重は、65ポンド(約29.5kg)しかなかった。

彼の遺稿は、大学時代までに修得した英語ドイツ語、およびガベルスベルガー式速記と呼ばれるドイツの古い速記法で書かれているが、その速記法はすでに淘汰されたタイプであるため、解読が困難であることで知られている。幸い、彼が潔癖で几帳面であったため、遺稿のほぼすべてが残されている[9]

業績

著作集

著書

  • 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
  • Gödel, Kurt (1940-9-1). The Consistency of the Continuum Hypothesis, Annals of Mathematics Sutdies. Princeton University Press. ISBN 0-691-07927-7. 
  • クルト・ゲーデル 『数学基礎論 撰出公理及び一般連続仮説の集合論公理との無矛盾性』 近藤洋逸訳、伊藤書店、1946年4月。

日本語による文献

参考文献

  • 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年)
  • 吉永良正『ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見』 (ブルーバックス B-947)

関連文献

備考

  • ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見 (ブルーバックス B-947)では、マリアンヌは17歳でクルトを生んだとあるが、これはGeorg Kreiselの1982年の文献自体のエラーの引き写しによる誤情報である[10]

脚注

  1. 菊池誠 A Note on Boolos' Proof of the Incompleteness Theorem 2018年7月14日閲覧。
  2. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." (1931)
  3. "The Consistency of the Continuum Hypothesis" (1940)
  4. もっとも、ゲーデルはユダヤ系ではないこともあって、ナチスに中立的な立場だったといわれる。むしろ、ゲーデルは、自分をユダヤ人と誤解してそれを理由に冷遇したオーストリア学術界に対して、強い反感を持っており、そこから離れたいという思いのほうが強かったようである。その証拠に、ゲーデルは、生前オーストリアから与えられた名誉号などをすべて辞退している。高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、178-179頁)を参照。
  5. ゲーデルは市民権を得るための面接で、アメリカの憲法が独裁者の出現を防げない欠陥憲法であることを指摘したとも言われるが、政治的にはノンリベラルで躊躇なくアイゼンハワーに投票している。高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、182頁)を参照。
  6. 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、145頁)を参照。
  7. 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、148頁)を参照。
  8. 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、153-155頁)を参照。
  9. 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、197頁)を参照。
  10. 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』(講談社現代新書、1999年、248頁)を参照。

関連項目

外部リンク