オメガ定数

オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

[math]\Omega \exp \Omega =1 \,[/math]

で定義される数学定数であり、およそ

[math] \Omega \approx 0.5671432904097838729999686622[/math]

である。

また、

[math]\Omega = W(1) \,[/math]

とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

[math] e^{-\Omega}=\Omega \,[/math]

が、

[math] \ln (1/\Omega) = \Omega \,[/math]

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω₀ から初めて、Ω が漸化式

[math] \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}[/math]

を用いて反復計算できることがわかる。この数列は

[math]\lim_{n \to \infty} \Omega_n = \Omega [/math]

に収束する。

無理性

Ω が無理数であることは、e が超越数であるということから背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

[math] \frac{p}{q} = \Omega [/math]

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、

[math] 1 = \frac p q e^\frac p q [/math]
[math] e^p = \left( \frac q p \right) ^ q [/math]

これは、e が p 次の代数的数であることを示している。ところが、e は超越数であるから、背理法により Ω は無理数でなければならない。