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オイラー標数

オイラー標数(オイラーひょうすう、: Euler characteristic)とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラー多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもある[1]が、オイラー数は別の意味で使われることも多い[2]

定義

位相空間 XホモロジーHi(X) (i = 0, 1, 2, ...) について、オイラー標数 χ(X) は

[math]\chi(X) = \sum_{i = 0}^{\infty} (-1)^ib_i[/math]

で定義される[3]。ただし、biXi 次のベッチ数、すなわち Hi(X) のアーベル群としての階数である。

性質

ホモロジー群は位相不変量であるため、オイラー標数も位相不変量である。閉曲面の分類定理により、連結かつ向き付け可能な閉曲面においてはオイラー数は位相同型に関する完全不変量になっている。

n次元CW複体 K に含まれる i 次元単体の個数を qi とすると、

[math]\chi(K) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^iq_i[/math]

である。つまり、この場合はホモロジー群を計算しないで含まれている単体さえわかればオイラー標数を計算できる。特に K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 として

[math]\chi(K) = q_{0} - q_{1} + q_{2} = V - E + F[/math]

とも書かれる。凸多面体ならばこれは常に 2 に等しく、これをオイラーの多面体定理という。

脚注

  1. {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}
  2. Weisstein
  3. 十分先でベッチ数は 0 になるので、和は実際は有限和である。

参考文献

関連項目

外部リンク