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ウェアリングの問題

ウェアリングの問題 (Waring's problem) は、全ての自然数 k ≥ 2 に対して、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」という性質を満たす整数 s が存在するかという問題である。

この問題は1770年エドワード・ウェアリング (Edward Waring) によって提唱された。1909年、ダフィット・ヒルベルトがこの問題を肯定的に解決した[1]。その後、各 k に対して整数 s の最小値 g(k) を与える公式が発見されている。現在、単にウェアリングの問題と言えば、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」を満足する s の最小値を評価・決定する問題を指すことが多い。(例を挙げると、全ての自然数は、4個の二乗数で表されるか、あるいは、9個の 3乗数で表されるか、19個の 4乗数で表されるか、などである。)ウェアリングの問題は、数学問題の分類の、11P05、「ウェアリング問題とその変形」にある。

ラグランジュの四平方定理との関係

ウェアリングが問題を提示するはるか以前に、ディオファントス (Diophantus) は、全ての自然数はゼロ以上の整数の二乗の四つの和として表すことができるかと問うた(四平方定理を参照)。この問題は、1621年に、クロード・バシェEnglish版(Claude Gaspard Bachet de Méziriac)によるディオファントスの翻訳が出版されると、バシェの予想として知られるようになり、ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) により、ウェアリングの予想の提出された同じ年の1770年に四平方定理として解かれた。ウェアリングは、正の整数が立方数の和として表現できるか、正数が 4乗数の和として表すことができるか等々と、この問題の一般化して考え、全ての正の整数は特定の指数のべきをとった整数の和として表すことができるのではないか、さらに、このような方法で全ての正の整数を、ある指数の和として表すことがいつでもできる個数が存在するのではないかと予想した。[2]

g(k)の値

全ての k に対して、g(k) で全ての整数を表すことに必要な s 個の自然数の k 乗ベキの最小の s の値とする。g(1) = 1 であることに注意する。簡単な計算により、7 は 4 個の平方数、23 は 9 個の立方数、79 は 19 個の 4 乗数で表すことがわかるので、これらの例から g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, g(4) ≥ 19 であることがわかる。ウェアリングはこれらの値が実際は全ての自然数に対して表すことが可能ではないかと予想した。

1770年のラグランジュの四平方定理は、全ての自然数は多くとも 4 個の平方数の和であることを言っていて、3 個の平方数では十分ではないので、この定理は g(2) = 4 であることを意味している。ラグランジュの四平方定理は、クロード・バシェの1621年のディオファントゥスのアリトメティカEnglish版(Arithmetica)の編集で述べられている。フェルマー(Pierre de Fermat)は証明したと主張したが、著書としていない。[3]

年月を経て、ますます複雑な技術を使い、様々な境界が判明してきた。例えば、リウヴィルは g(4) は大きくとも 53 であることを示した。ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)は、十分に大きな自然数に対して、多くとも 19 個の 4 乗数の和で表されることを示した。

g(3) = 9 であることは1909年から1912にかけて、アーサー・ウィーフェリッチEnglish版(Arthur Wieferich)[4]オーベリィ・ケンプナーEnglish版(A. J. Kempner)[5]により確立された。1986年には、g(4) = 19 がラマチャンドラン・ブラスブラマニアンEnglish版(R. Balasubramanian)、ドレス(F. Dress)とジャン・マーク・デショワラーEnglish版(J.-M. Deshouillers)により確立した[6][7]。1964年には、g(5) = 37 が陳景潤(Chen Jingrun)により、g(6) = 73 は1940年にスバッヤ・ピライEnglish版(Pillai)により確立された[8]

[x] と {x} でそれぞれ x の整数部分と分数部分を表すとする。2k[(3/2)k]-1<3k であるので、2k と 1k だけが、この数を表すことに使うことができ、もっとも効果的(economical)な表現は [(3/2)k]-1 個の 2k と 2k-1 個の1k の和であるから、このことより g(k) は少なくとも 2k + [(3/2)k] − 2 よりも大きい。有名なレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)の息子であるJ. A. オイラーは、1772年頃に、実際、g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2 であることを予想した[9]。後日、レオナルド・ディクソンEnglish版(Dickson)、ピライ、R. ルブグンダイEnglish版(R. K. Rubugunday)、イワン・ニベンEnglish版(Ivan M. Niven)[10] や他の人たちにより、以下のことが示された。

  • [math]2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k]\le2^k[/math] のとき、
[math]g(k) = 2^k + [(3/2)^k] - 2[/math]
  • [math]2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k] \gt 2^k[/math] かつ [math][(4/3)^k][(3/2)^k] + [(4/3)^k] + [(3/2)^k] = 2^k[/math] のとき、
[math]g(k) = 2^k + [(3/2)^k] + [(4/3)^k] -2[/math]
  • [math]2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k] \gt 2^k[/math] かつ [math][(4/3)^k][(3/2)^k] + [(4/3)^k] + [(3/2)^k] \gt 2^k[/math] のとき、
[math]g(k) = 2^k + [(3/2)^k] + [(4/3)^k] -3[/math]

2k{(3/2)k} + [(3/2)k] > 2k となるような k の値はしられていない。クルト・マーラーEnglish版(Kurt Mahler)はそのような k が存在しても有限個しかないことを証明し[11]、クビナ(Kubina)とウンダーリッビ(Wunderlich)は、そのような k は k > 471,600,000 とならねばならないことを示した[12]。この結果から考えて、第一の場合しか発生しないのではないか、すなわち、正の整数の k に対し、[math]g(k) = 2^k + [(3/2)^k] -2[/math] となるのではないかと予想されている。

g(k) の最初のいくつかを列挙すると、

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055 ... オンライン整数列大辞典の数列 A002804.

G(k)の値

境界
4 = G(2) = 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)の仕事から、関連している数値 G(k) は g(k) を使い研究された。G(k) は、全ての十分大きなEnglish版(sufficiently large)を(つまり、ある定数よりも大きな全ての整数を)、正の整数の k 乗の多くとも s 個の和で表すことができるような、最も小さな整数 s の値として定義される。平方数は 0, 1, or 4 (mod 8) に合同であるので、7 (mod 8) に合同な整数は 3 個の平方数の和として表すことができない。このことは、G(2) ≥ 4 を意味する。全ての k に対して G(k) ≤ g(k) であるので、このことは G(2) = 4 を意味する。ハロルド・ダヴェンポートEnglish版(Harold Davenport)は、1929年、G(4) = 16 であることを、1 から 14 mod 16 に合同な十分大きな数は 4 乗数の 14 個の和として表すことができることを示すことで、証明した。(ヴォーン(Vaughan)は、1985年から1989年の間に 14 個をさらに進めて 13 個、12 個とできることを示した。[13])他の k に対して、G(k) の正確な値は、境界のあることは知られているが、分かっていない。

G(k) の値の下界

G(k) の値は、次の値に等しいかまたは大きい。

r ≥ 2 で k = 2r または、k = 3×2r のとき、2r + 2
p が 2 よりも大きい素数で、k = pr(p − 1) のとき、pr + 1
p が 2 よりも大きい素数で、k = pr(p − 1)/2 のとき、(pr + 1 − 1)/2
1 よりも大きな全ての整数 k に対して、k + 1

合同関係の制限がない場合は、密度の議論により G(k) が k + 1 に等しくなることを示唆している。

G(k) の値の上界

G(3) はすくなくとも 4 である(理由は 3 乗数は 0, 1 もしくは −1 mod 9 であるから)。1.3×10{{#invoke:Gapnum|main|9}} よりも小さな数に対し 1290740 は 6 個の 3 乗数を求め、G(3)=4 であることを認めるに十分な速度で N を増加させることで、5 個の 3 乗数を要求する N と 2N の間の数の個数を減らすことができる[14]。4 個の 3 乗数の和で表すことのできない知られている最も大きな数は 7373170279850 であり[15]、著者たちはこれが最も大きな数であるのではないかというのが妥当であろうとの議論をしている。G(3) の上界 G(3) ≤ 7 はユーリ・リンニク(Yuri Vladimirovich Linnik)による[16][17]

13792 が 17 個の 4 乗数を要求する最も大きな数である。(デショワラー(Deshouillers)、へネカール(Hennecart)、ランドルー(Landreau)は2000年に次のこと示した[18]。全ての 13793 と 10245 の間の数は多くとも 16 個の和を要求し、カワダ(Kawada)、ウーレイ(Wooley)、デショワラー(Deshouillers)はダベンポートの1939年の結果を拡張し、10220 以上の数はもはや 16 個以上の和を要求しないことを示した。)16 個の 4 乗数の和はいつも 31·16n の形の数に書くことを要求される。

617597724 が 15 個の個数を要求する 1.3×10{{#invoke:Gapnum|main|9}} よりも小さい最大の数であり、51033617 が 11 個の個数を要求する 1.3×10{{#invoke:Gapnum|main|9}} よりも小さい最大の数である。

k=5,...,20 よりも大きな上界はボブ・ヴォーンEnglish版(Bob Vaughan)とトレヴォール・ウーレイEnglish版(Trevor Wooley)による[19]

イワン・ヴィノグラードフEnglish版(Ivan Matveyevich Vinogradov)は、改善したハーディ・リトルウッドの方法English版(Hardy-Littlewood method)[20]を使い、1947年に次の評価式を導き出す多くの精密化を行った。

[math]G(k)\le k(3\log k +11)[/math]

また、1959年には特定はできないがある定数 C と十分に大きな k に対し、次の評価式が成り立つことを示した。

[math]G(k)\le k(2\log k +2\log\log k + C\log\log\log k)[/math]

ハーディ・リトルウッド・ヴィノグラードフの方法であるp-進の形を三角和の評価へ適用すると、和が小さな因子を持つ数を渡って取られるので、アナトリー・カラツバEnglish版(Anatolii Alexeevitch Karatsuba)は、1985年にハーディ函数 [math]G(k)[/math][math]k \ge 400[/math] に対して)の新しい評価式を得た[21]

[math]\! G(k) \lt 2 k\log k + 2 k\log\log k + 12 k[/math]

さらに、1989年にはヴォーンにより精密化された。

さらに、ウーレイはある定数 C に対して、次の評価式が成り立つことを示した[22]

[math]G(k)\le k\log k+k\log\log k+Ck.[/math]

ヴォーンとウーレイは、包括的な報告書(サーベイ)を書いた[19]

関連項目

脚注

  1. Hilbert, D. (1909). “Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)”. Mathematische Annalen 67: 281–300. doi:10.1007/bf01450405. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0067&DMDID=DMDLOG_0029&L=1. 
  2. ウェアリングは1770年にその著書Meditationes Algebraicaeにおいて"Omnis integer numerus vel est cubes vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus, est eliam quadrato-quadratus vel e duobos, tribus &c. usque ad novemdecim compositus &sic deinceps."(「全ての整数は立方数であるか2, 3, 4, 5, 6, 7, 8または9個の立方数の和であり、平方数の平方であるか又は高々19個のそのような数の和であり、等々」)と書いている。
  3. Dickson, Leonard Eugene (1920). “Chapter VIII”, History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. 
  4. Wieferich, Arthur (1909). “Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt”. Mathematische Annalen 66 (1): 95–101. doi:10.1007/BF01450913. http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D38240. 
  5. Kempner, Aubrey (1912). “Bemerkungen zum Waringschen Problem”. Mathematische Annalen 72 (3): 387–399. doi:10.1007/BF01456723. http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D28751. 
  6. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. (French. English summary) [Waring's problem for biquadrates. I. Sketch of the solution] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
  7. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique. (French. English summary) [Waring's problem for biquadrates. II. Auxiliary results for the asymptotic theorem] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 5, pp. 161-163
  8. Pillai, S. S.. “On Waring's problem g(6)=73”. Proc. Indian Acad. Sci. 12A: 30–40. 
  9. L. Euler "Opera postuma" (1), 203-204 (1862)
  10. Niven, Ivan M. (1944). “An unsolved case of the Waring problem”. American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 66 (1): 137–143. doi:10.2307/2371901. JSTOR 2371901. 
  11. Mahler, K. (1957). “On the fractional parts of the powers of a rational number II”. Mathematika 4: 122–124. 
  12. Kubina, J. M. and Wunderlich, M. C. "Extending Waring's conjecture to 471,600,000" Math. Comp. (55) 815--820 (1990)
  13. G(k) について言及しているわけではなく、1 から 14 mod 16 に合同な十分大きな数についてであることに注意。
  14. Nathanson (1996)p.71
  15. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by (2000). “7373170279850”. Mathematics of Computation 69 (229): 421–439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3. 
  16. Nathanson (1996) p.46,71
  17. リンニクは、加法的整数論に関してシュニレルマンによる密度の方法を用いた。
  18. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2000). “Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results”. Journal de théorie des nombres de Bordeaux 12: 411–422. http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps. 
  19. 19.0 19.1 R. C. Vaughan, Trevor Wooley (2002). Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. A. K. Peters, 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. 
  20. ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディジョン・エデンサー・リトルウッドは g(k)を改良する中で、むしろ「十分大きな全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」を満足する s の最小値 G(k) のほうが本質的であると考えた。彼らは円の方法と呼ばれる新しい方法を使い、 [math]G(k)\le (k-2)2^{k-1}+5[/math] を証明し、この問題に限らず解析的整数論全体に劇的な進歩をもたらした。また、ハーディとリトルウッドは一般化されたリーマン予想を前提としていたが、ヴィノグラドフはこの前提を必要としない方法とした。
  21. Karatsuba, A. A. (1985). “On the function G(n) in Waring's problem”. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Math. (49:5): 935–947. 
  22. Vaughan, R.C. (1997). The Hardy-Littlewood method, 2nd, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57347-5. 

参考文献

  • J. M. Deshouillers and F. Dress, Sum of 19 biquadrates: on the representation of large integers, Anrc. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci., (4) 92(1992), 113-153.
  • W. J. Ellison: Waring's problem. American Mathematical Monthly, volume 78 (1971), pp. 10–36. Survey, contains the precise formula for g(k), a simplified version of Hilbert's proof and a wealth of references.(ウェアリング問題に関する解説記事)
  • A. Y. Khinchine, Three pearls of number theory, Graylock Press, Rochester, 1952, Unabridged version, Dover, 1998, ISBN 0-486-40026-3. 日本語訳:蟹江 幸博 (翻訳), 数論の三つの真珠, 日本評論社, 2000, ISBN 4-535-60843-1.(リンニクの方法による証明が掲載されている)
  • K. Mahler, On the fractional parts of the powers of a rational number, II, Mathematika 4(1957), 122-124.
  • M. B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, GTM 164, Springer-Verlag, 1996, ISBN 0-387-94656-X.
  • R. C. Vaughan and T. D. Wooley, Waring's problem: a survey, Number Theory for the Millenium, Vol. III (Bennett et al., eds.), A. K. Peters, 2002, pp. 301-340. [1](ウェアリング問題に関するサーヴェイ)

外部リンク