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アペリーの定数

アペリーの定数(―のていすう、: Apéry's constant)は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。

[math]\zeta(3)[/math]
[math]=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots[/math]
[math]\approx 1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots.[/math]

この値は無理数である(⇒アペリーの定理)。

「アペリーの定数」という名前は、1977年ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。

表現

1772年レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。

[math]\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right][/math]
[math]\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7}\log 2+\frac{16}{7}\int_0^\frac{\pi}{2}x\log(\sin x)dx[/math]

また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。

[math]\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}[/math]
[math]\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)} [/math]

積分表現

また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは

[math] \zeta(3) =\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \! \frac{1}{1-xyz}\, dxdydz [/math]

や、リーマン関数の公式を用いた

[math] \zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x-1}\, dx [/math]

または

[math] \zeta(3) =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx [/math]

等がある。