くし型関数

ファイル:DiracComb.png

周期Tのくし型関数。

くし型関数（くしがたかんすう、英: comb function）は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。英語からコム関数とも。概形をキリル文字の「Ш」にたとえてシャー関数（しゃーかんすう、shah function）とも呼ばれる。またわかりやすく周期的デルタ関数とも呼ばれる。

[math]\mathrm{comb}(x)=\delta_T(x)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-nT)[/math]

連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化（サンプリング）した数値列を得ることができる。このため理想的なサンプラーのモデルとしても扱われる。

特徴

• くし型関数のフーリエ変換はくし型関数になる。

[math]\mathcal{F}(\delta_T)=\frac{\sqrt{2\pi}}{T}\delta_{2\pi/T}(\omega)[/math]

ただしフーリエ変換すると周期がT から2π/T になる。なお離散フーリエ変換も同様であるが、連続の場合と異なり周期がN/T になる（N はサンプル点数）。

• ポアソン和の公式：

[math]\frac{1}{T}\mathrm{comb}\left(\frac{x}{T}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT) = \frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty \exp\left(\frac{2\pi imx}{T}\right)[/math]

が成り立つ。