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くし型関数

ファイル:DiracComb.png
周期Tのくし型関数。

くし型関数(くしがたかんすう、: comb function)は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。英語からコム関数とも。概形をキリル文字の「Ш」にたとえてシャー関数(しゃーかんすう、shah function)とも呼ばれる。またわかりやすく周期的デルタ関数とも呼ばれる。

[math]\mathrm{comb}(x)=\delta_T(x)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-nT)[/math]

連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化(サンプリング)した数値列を得ることができる。このため理想的なサンプラーのモデルとしても扱われる。

特徴

[math]\mathcal{F}(\delta_T)=\frac{\sqrt{2\pi}}{T}\delta_{2\pi/T}(\omega)[/math]
ただしフーリエ変換すると周期がT から2π/T になる。なお離散フーリエ変換も同様であるが、連続の場合と異なり周期がN/T になる(N はサンプル点数)。
[math]\frac{1}{T}\mathrm{comb}\left(\frac{x}{T}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT) = \frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty \exp\left(\frac{2\pi imx}{T}\right)[/math]

が成り立つ[1]

参考文献

  1. 1.0 1.1 Earl G. Williams; 吉川茂、西條献児訳 『フーリエ音響学』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、9頁。ISBN 4-431-71174-0